Урок 1. Показательная функция, ее свойства и график

По учебнику для 11 класса «Алгебра и начала анализа»

(в двух частях, часть I, II, профильный уровень)

авторов А.Г. Мордковича и П.В. Семенова

(Москва, Мнемозина, 2007)

Для успешного усвоения вопроса необходимо вспомнить основные определения и свойства функций из курса алгебры и начал анализа из 10 класса.

Определение 1: Если даны числовое множество X правило f, позволяющее поставить в соответствие каждому элементу x из множества X определенное число y, то говорят, что задана функция y = f (x) с областью определения X. Пишут: y = f (x), x из X.

Для области определения функции используют обозначение D (f).

Переменную x называют независимой переменной или аргументом, а переменную y - зависимой переменной.

Множество всех значений функции y = f (x) называют областью (или множеством) значений функции и обозначают E (f).

Определение 2: Если дана функция y = f (x), x из X, и на координатной плоскости xOy отмечены все точки вида (x; y) , где x из X, а y = f (x), то множество этих точек называют графиком функции  y=f (x), x из X.

Определение 3: Функцию y=f (x) называют возрастающей на множестве X из D (f), если для любых точек x₁ и x₂ множества X, таких, что x₁ < x₂, выполняется неравенство f(x₁) < f(x₂).

Определение 4: Функцию y=f (x) называют убывающей на множестве X из D (f), если для любых точек x₁ и x₂ множества X, таких, что x₁ < x₂, выполняется неравенство f(x₁) > f(x₂).

* Обычно термины "возрастающая функция", "убывающая функция" объединяют общим названием монотонная функция, а исследование функции на возрастание и убывание называют исследованием функции на монотонность.

Определение 5: Функцию y=f (x) называют ограниченной снизу на множестве X из D (f), если все значения этой функции на множестве X больше некоторого числа, т. е. существует число m, такое, что для любого значения x из X выполняется неравенство f (x) > m.

Определение 6: Функцию y=f (x) называют ограниченной сверху на множестве X из D (f), если все значения этой функции на множестве X меньше некоторого числа, т. е. существует число m, такое, что для любого значения x из X выполняется неравенство f (x) < m.

* Если функция ограничена и снизу и сверху на всей области определения, то ее называют ограниченной.

Определение 7: Число m называют наименьшим значением функции y = f (x) на множестве X из D (f), если:

1) во множестве X  существует точка x₀, такая, что f (x₀) = m;

2) для всех значений x из множества X выполняется неравенство f (x) ≥  f(x₀).

Определение 8: Число m называют наибольшим значением функции y = f(x) на множестве X из D (f), если:

1) во множестве X  существует точка x₀, такая, что f (x₀) = M;

2) для всех значений x из множества X выполняется неравенство f (x) ≤  f(x₀).